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Pythagoreische Zahlen

Positive ganze Zahlen, die der Gleichung

x2 + y2 = z2
genügen, nennt man pythagoreische Zahlen oder ein pythagoreisches Zahlentripel oder ein pythagoreisches Dreieck. Das kleinste derartige Tripel sind die Zahlen 3, 4 und 5, denn
32 + 42 = 52
Durch Probieren findet man leicht, dass für kleinere positive ganze Zahlen die obige Gleichung nicht zu erfüllen ist. Wie wäre es mit größeren Zahlen? Das wird ein Rechenaufwand mit ungewissem zeitlichen Ausgang, selbst unter Einsatz des Taschenrechners. Wer es mag und kann, der füttere seinen PC mit dieser dankbaren Aufgabe. Als der ehrbare Computer C64 noch in den Kinderzimmern stand und beinahe jeder zweite Nutzer mit der einfachen Programmiersprache Basic umzugehen verstand, war das eine leichte Herausforderung. Man war auf Basic angewiesen, wenn man den C64 vernünftig nutzen wollte. Jetzt ist man hauptsächlich auf Microsoft angewiesen, wenn man sich nicht umschaut.

In einem über 100 Jahre alten Lexikon steht etwas umständlich folgendes Kochrezept:

x = 2fab
y = f(a2 - b2)
z = f(a2 + b2)
Bedingungen sollte man allerdings einhalten:
a, b seien beliebige teilerfremde ganze Zahlen,
f eine beliebige ganze Zahl, falls jedoch a und b ungerade sind, dann sei f die Hälfte einer beliebigen ganzen Zahl.

Zum Verständnis und zur Nachahmung seien: a=5, b=6, f=3, daraus wird

x = 2·3·5·6 = 180
y = 3(52 - 62) = -33
z = 3(52 + 62) = 183
Und nun eingesetzt:
1802 + (-33)2 = 1832

Stimmt tatsächlich, wird der Taschenrechner sagen. Wirklich?

Da war doch was mit positiven ganzen Zahlen, aber y ist ja nicht positiv. Dann vertauscht doch einfach mal a und b, ob das was wird?

Um solche Zahlentripel zu finden, gab es schon in der Antike Formeln, den Babyloniern waren sie schon bekannt.

 

 Bild2
 

Mit dem Probieren ist das immer so eine Sache. Rechts habt ihr etliche pythagoreische Zahlentripel. Die Liste wäre länger von mir aus, aber es ist nicht sehr spannend, darin zu lesen. Wie lang könnte sie denn wirklich sein? Bei schlechtem Wetter könnt ihr die Tripel nachrechnen. Solltet ihr einen Fehler finden, dann muss ich mir wohl einen neuen Computer kaufen, was nicht so schlecht wäre.

Vorerst diese Frage:
Wie oft kommt die Zahl 100 in pythagoreischen Zahlentripeln vor? (Dabei sollen x und y nicht einfach nur vertauscht werden in der Gleichung x2 + y2 = z2)
Ohne Kollege Computer und ohne freundschaftlichen Umgang mit ihm wird man lange brauchen.

Noch eine Frage:
Wieviel pythagoreische Zahlentripel gibt es, die aus drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen bestehen?
Die Antwort ist ja nun sehr leicht,wenn man quadratische Gleichungen lösen kann, denn die drei Zahlen heißen, eingesetzt in unsere obige Gleichung
x2 + (x+1)2 = (x+2)2
Diese quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen, nämlich
x1 = 3 und x2 = -1
Rein rechnerisch ist unsere Ausgangsgleichung mit beiden Lösungen erfüllt, aber der Definitionsbereich für x,y,z hieß ja positive ganze Zahlen. Also gibt es genau eine Lösung für diese Aufgabe mit x=3, y=4, z=5.

Wähle
zwei beliebige natürliche Zahlen a und b mit a>b
Setze x = a2 - y2, y = 2ab und z = a2 + b2
Berechne damit pythagoreeische Zahlentripel.

Beweise,
dass man aus einem vorliegenden Zahlentripel (x,y,z) ein neues Tripel (kx,ky,kz) erhält, wobei k eine natürliche Zahl ist.

 
x
3
5
6
7
8
9
9
10
11
12
12
13
14
15
15
16
16
18
18
20
20
21
21
24
24
24
25
27
28
28
30
30
32
33
33
35
36
36
39
39
40
40
42
45
48
48
51
54
57
60
60
65		   y
4
12
8
24
15
12
40
24
60
16
35
84
48
20
36
30
63
24
80
21
48
28
72
32
45
70
60
36
45
96
40
72
60
44
56
84
48
77
52
80
42
75
56
60
55
64
68
72
76
63
80
72 		  z
5
13
10
25
17
15
41
26
61
20
37
85
50
25
39
34
65
30
82
29
52
35
75
40
51
74
65
45
53
100
50
78
68
55
65
91
60
85
65
89
58
85
70
75
73
80
85
90
95
87
100
97