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Heron von Alexandria 1

Für die Berechnung des Flächeninhaltes beliebiger Dreiecke mit den Seitenlängen a, b, c fand Heron von Alexandria die schöne Formel

    A = √[s(s -a)(s - b)(s - c)]
Dabei ist s der halbe Umfang des Dreieckes, also
    s = ½(a + b + c)
Wir ersetzen s in der ersten Formel und erhalten
    A = ¼√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c+ a - b)]
Den Term in der Wurzel (den Radikanden) berechnen wir. Diese Multiplikation erfordert etwas Schreiberei und Konzentration.
    A = ¼√[2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - (a4 + b4 + c4)]
Wir bringen das rechtwinklige Dreieck ins Spiel indem wir festlegen, dass a und b senkrecht zueinander sind. Für diesen Fall berechnet sich der Flächeninhalt unseres Dreieckes auch zu
    A = ½ab
Die beiden letzten Gleichungen setzen wir gleich
    ½ab = ¼√[2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - (a4 + b4 + c4)]
Wir multiplizieren mit 4 und quadrieren die Gleichung
    4a2b2 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - (a4 + b4 + c4)
Etwas anders arrangiert sieht das so aus
    0 = -a4 - b4 - c4 - 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2
Es hilft uns weiter, wenn wir die Gleichung mit (-1) multiplizieren
    0 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2
Wir erinnern uns an die binomischen Formeln und erhalten
    0 = (a2 + b2 - c2)2
Noch zwei Minischritte, dann haben wir wieder unseren Pythagoras.
Den Schritt mit der binomischen Formel solltet ihr durchrechnen, Training ist immer gut.

Heron von Alexandria, griechischer Gelehrter, vermutlich 1. Jahrhundert n.Ch.
Sein Name ist noch heute geläufig, u.a. der oben benutzten Heronschen Formel wegen, dem Heron Verfahren zum Berechnen der Quadratwurzel und seiner Erfindung des Heronballes (Grundprinzip des Zerstäubers).